Hace algunos meses escuché en un programa de Redes que la probabilidad de que en una fiesta haya dos personas que cumplan años el mismo día es bastante alta. A priori, esto choca un poco. Por lo general, de forma intuitiva, diríamos que esa probabilidad es bastante baja. El motivo podría ser que consideramos esa probabilidad similar a la de encontrar en una fiesta alguien que cumpla años el mismo día que nosotros. Sin embargo, ambas probabilidades no tienen nada que ver.
Para calcular la probabilidad de que en una fiesta de N personas existan dos personas que cumplan años el mismo día, podemos pensar en 365 vasos y N bolas colocadas en alguno de esos vasos al azar. La probabilidad es la misma que 1 menos la probabilidad de que en los 365 vasos haya como máximo una bola. Es decir, la probabilidad de que en algún vaso haya más de una bola (al menos dos personas con el mismo cumpleaños).
La probabilidad sería 1 - 365!/exp(365,n)*(365-n)!
En base a esta ecuación, en una fiesta con 20 personas, la probabilidad de que haya dos personas con el mismo cumpleaños es del 41% y en una fiesta con 50 personas, esta probabilidad es del 97%. Es decir, casi con total seguridad, en una fiesta medianamente grande, va a haber al menos dos personas que cumplen años el mismo día.
Por otro lado, la probabilidad de que cuando llegamos a una fiesta con N personas haya al menos una persona que cumpla años el mismo día que nosotros, se puede calcular como la probabilidad de que al colocar N bolas al azar en 365 vasos, no haya ninguna en el vaso donde está nuestra bola.
La probabilidad sería 1 - exp(364/365, n)
Por tanto, que en una fiesta con 20 personas haya alguien que cumpla años el mismo día que nosotros es sólo del 5%, mientras que en una fiesta con 50 personas es del 13%.
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